Gambar1 memperlihatkan garis regresi dan beberapa data yang digunakan untuk mendapatkannya. Jika tidak terdapat nilai x, ramalan terbaik ∑ adalah . Akan tetapi, gambar memperlihatkan bahwa untuk ∑ galat metode tersebut akan tinggi: .∑. Jika xi diketahui, Persamaangaris 4x-6y=0 diubah terlebih dahulu menjadi bentuk y=mx sehingga 2 Persamaan garis 𝑦 = 𝑥 sudah memenuhi 3 2 bentuk y=mx. Jadi diperoleh 𝑚 = 3 f Menentukan garis yang melalui sebuah titik ( x1 , y1) dengan gradien m Untuk menentukan persamaan garis B.Subsitusikan nilai c ke tersebut perhatikah persamaan y = mx+c langkah Padagambar, persamaan garis melalui titik potong sumbu- dan titik potong sumbu- . Rumus persamaan garis melalui titik potong sumbu- dan titik potong sumbu- , yaitu: Diperoleh penyelesaiannya yaitu: Persamaan garis pada gambar adalah . Oleh karena itu, jawaban yang benar adalah C. Contoh1: Tentuka persamaan fungsi trigonometri dari gambar di bawah ini, Pembahasan: Langkah 1: Perhatikan garis normal. Garis normal masih di sumbu x - artinya C= 0. Langkah 2: Grafik Trigonometri yang dimulai dari 0 ialah sin. Artinya grafik tersebut ialah grafik sinus. . Persamaan parametrik adalah persamaan yang mendefinisikan hubungan dua variabel, misalkan \x\ dan \y\, dengan cara menggunakan dua persamaan dari dua variabel tersebut di mana masing-masing persamaan dinyatakan dalam suatu variabel. Variabel tersebut dinamakan parameter. Bingung ya? Mari saya ulangi dalam kalimat sederhana apa itu persamaan parametrik. Persamaan parametrik adalah persamaan yang menyatakan hubungan variabel \x\ dan \y\ dituliskan dengan\[\begin{eqnarray}x&=&ft\\y&=>\end{eqnarray}\]dengan \a \leq t \leq b\. Perhatikan dua persamaan berikut\[x=2t\qquad ; y=t-4\]Persamaan di atas dinamakan persamaan parametrik dari \x\ dan \y\ dengan parameter \t\. Jika nilai \t\ disubtitusikan, maka nilai ini akan menentukan nilai \x\ dan \y\ yang merupakan koordinat dari kedudukan titik titik \Px,y\. Terus bagaimana menyatakan persamaan parametrik ke persamaan di koordinat salib sumbu atau koordinat kartesius? Cara yang lazim untuk merubah persamaan parametrik ke persamaan persegi panjang koordinat kartesius adalah dengan mengeliminasi parameter. Pada persamaan parameter di atas, jika anda subtitusikan nilai \t=\frac{x}{2}\ ke persamaan kedua akan diperoleh\[ \begin{eqnarray} y&=&\frac{x}{2}-4\\ 2y&=&x-8\\ x-2y&=&8 \end{eqnarray} \]yang merupakan persamaan derajat satu atau persamaan garis. Sedangkan kalau merubah suatu persamaan ke persamaan parametrik. Lihat contoh berikut Contoh Soal 1 Persamaan parabola yang didefinisikan dengan\[x^{2}+2x+y=4\]Tentukan persamaan parametrik dari persamaan tersebut! Penyelesaian contoh soal 1 Misalkan \x=2t\. Maka jika disubtitusi pada persamaan parabola di atas didapatkan\[ \begin{eqnarray} \left2t\right^{2}+22t+y&=&4\\ 4t^{4}+4t+y&=&4\\ y&=&4-4t-4t^{2} \end{eqnarray}\]Jadi persamaan parametrik dari parabola di atas adalah\[x=2t,\qquad y=4-4t-4t^{2}\] Pada contoh 1 di atas, persamaan parametrik tentu tidak haya satu saja, bisa banyak. Hal ini karena permisalan variabel \x\ bisa sebarang fungsi dalam \t\. Bisa \x=t\ bisa \x=t+1\ ataupun yang lain. Berikut akan dilihat beberapa persamaan parametrik dari kurva yang terkenal. Persamaan Parametrik Lingkaran Persamaan parametrik dari suatu lingkaran dengan jari-jari \r\ dan berpusat di titik asal \O\ dapat dikontruksi dari gambar berikut Perhatikan kedudukan titik \Px,y\ pada lingkaran yang dapat dinyatakan dalam bentuk dua persamaan dengan parameter sudut \\theta\. Berdasarkan definisi fungsi trigonometri, fungsi sinus dan kosinus, dapat dilihat bahwa\[\cos \theta=\frac{x}{r}\]atau\[x=r\cos\theta\]dan\[\sin \theta = \frac{y}{r}\]atau\[y=r \sin \theta\]Jadi persamaan parametrik dari lingkaran dengan jari-jari \r\ berpusat di \O0,0\ dengan parameter \\theta\ adalah\[ \begin{eqnarray} x&=&r\cos \theta\\ y&=&r \sin \theta \end{eqnarray}\]Jika nilai \\theta\ naik dari \0^{0}\ sampai \360^{0}\ maka titik \Px,y\ bergerak dari titik \Pr,0\ melingkar dengan arah berlawanan arah jarum jam sepanjang lingkaran. Untuk merubah persamaan parametrik ini, akan kita eliminasi parameter \\theta\. Dengan mengkuadratkan kedua ruas pada kedua persamaan dan dijumlahkan maka didapatkan\[ \begin{eqnarray} x^{2}+y^{2}&=&r^{2}\cos^{2}\theta+r^{2}\sin^{2}\theta\\ &=&r^{2}\left\cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta\right\\ x^{2}+y^{2}&=&r^{2} \end{eqnarray}\]yang merupakan persamaan lingkaran dengan jari-jari \r\ dan berpusat di titik asal. Persamaan Parametrik Ellips Sekarang akan kita bentuk persamaan parametrik untuk ellips dengan pusat di titik asal \O0,0\ dengan sumbu mayor di sumbu \x\ dan sumbu minor terletak di sumbu \y\. Perhatikan gambar di bawah ini Akan dicari tempat kedudukan titik \Px,y\ yang bergerak sepanjang lintasan berbentuk ellips. Berdasarkan gambar dapat disimpulkan bahwa\[ \begin{eqnarray} x&=&OM=OA \cos \theta = a \cos \theta\\ y&=&MP=NB=OB \sin \theta=b \sin \theta \end{eqnarray} \]Titik \Px,y\ akan bergerak dimulai dari \a,0\ dan melewati lintasan ellips berlawanan arah jarum seiring nilai \\theta\ bertambah dari \0^{0}\ sampai ke \360^{0}\. Oleh karena itu persamaan parametrik dari ellips dengan pusat di titik asal adalah\[x=a\cos \theta;\qquad y=b\sin\theta\]Jika parameter \\theta\ dieliminasi maka dapat dilihat bahwa\[ \begin{eqnarray} x^{2}&=&a^{2}\cos^{2}\theta\\ \frac{x^{2}}{a^{2}}&=&\cos^{2}\theta\\ y^{2}&=&b^{2}\sin^{2}\theta\\ \frac{y^{2}}{b^{2}}&=&\sin^{2}\theta \end{eqnarray} \]sehingga\[\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1\]yang merupakan persamaan ellips. Grafik Persamaan Parametrik Seperti halnya menggambar suatu persamaan, persamaan parametrik dapat digambarkan dengan mencacah nilai dari variabel \x\ dan variabel \y\. Tentu, nilai dari dua variabel tersebut diperoleh dengan mensubtitusikan beberapa nilai dari parameternya dahulu. Cara alternatif menggambar persamaan parametrik yaitu dengan menghilangkan parameter dan dapat diketahui persamaan tersebut dalam bidang kartesius Perhatikan ilustrasi di dalam contoh berikut Contoh Soal 2 Gambar sketsa dari grafik\[x=5t-t^{2};\quad y=4t-t^{2}\]Penyelesaian Contoh Soal 2 Tabel di bawah menunjukkan nilai dari variabel \x\ dan \y\ untuk suatu nilai \t\ \\boldsymbol{t}\ \\boldsymbol{x}\ \\boldsymbol{y}\ \-\frac{3}{2}\ \-\frac{39}{4}\ \-\frac{33}{4}\ \-1\ \-6\ \-5\ \-\frac{1}{2}\ \-\frac{11}{4}\ \-\frac{9}{4}\ \-0\ \-0\ \-0\ \\frac{1}{2}\ \\frac{9}{4}\ \\frac{7}{4}\ \1\ \4\ \3\ \\frac{3}{2}\ \\frac{21}{4}\ \\frac{15}{4}\ Data pada tabel di atas selanjutnya dibuat di bidang kartesius dan digambarkan sketsanya. Jika ingin mengeliminasi parameter, langkah pertama adalah dengan mengurangkan kedua persamaan\[\begin{eqnarray}x-y&=&5t-t^{2} - 4t-t^{2}\\x-y&=&t\end{eqnarray}\]Selanjutnya mensubtitusi nilai \t\ tersebut ke salah satu persamaan semula\[\begin{eqnarray}x&=&5x-y-x-y^{2}\\&=&5x-5y-x^{2}+2xy-y^{2}\\0&=&x^{2}-2xy+y^{2}-4x+5y\end{eqnarray}\]yang merupakan persamaan dari parabola. Contoh Soal 3 Konstruksi grafik dari persamaan parametrik berikut\[x=2\sin^{2}\theta,\quad y=2 \cos^{2}\theta\]Penyelesaian Contoh Soal 3 Menkontruksi grafik dari persamaan tersebut lebih mudah dengan mengelimasi parameter. Jika kedua persamaan dijumlahkan maka didapatkan\[\begin{eqnarray}x+y&=&2 \sin^{2}\theta+2\cos^{2}\theta\\&=&2 \sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta\\x+y&=&2\end{eqnarray}\]yang meruapkan persamaan garis lurus Cycloid Pernahkan anda melihat benda bulat menggelinding. Pasti pernah. Roda ban yang menggelinding salah satu contoh yang kerap terlihat. Ada apa dengan ban menggelinding? Coba lihat animasi berikut Garis merah merupakan lintasan yang diperoleh dari suatu titik pentil jika dalam kasus roda ban berputar pada keliling lingkaran yang menggelinding. Bagaimana mendapatkan persamaan dari cycloid tersebut? Pertama adalah dengan memilih garis sebagai sumbu-\x\ dan titik asal sebagai titik sentuh lintasan dengan sumbu \x\. Pada gambar di atas, jari-jari lingkaran yang menggelinding dalah \a\ dan titik \Px,y\ sebagai titik penulusur. Pada posisi di atas, \CP\ membentuk sudut \\theta\ dengan garis vertikal. Jika lingkaran menggelinding maka diperoleh panjang \OB\ dan \PB\. Jadi\[OB = arc PB = a\theta\]Perhatikan segitiga \\triangle PDC\ \[\begin{eqnarray}x&=&OA=OB-PD=a\theta - a \sin \theta\\y&=&AP=BC-DC=a - a\cos\theta\end{eqnarray}\]Oleh karena itu, persamaan parametrik dari cycloid adalah\[\boldsymbol{x=a\theta - \sin \theta;\quad y=a1 - \cos\theta}\] Persamaan Parametrik Oleh Mohammad Mahfuzh Shiddiq December 03, 2019 Halo Quipperian! Pernahkah kalian melihat atau mendengar menara Pisa di Italia? Menara Pisa adalah sebuah menara lonceng yang memiliki kemiringan sekitar 50namun tetap berdiri hingga saat ini. Menara Pisa didirikan pada Abad ke-12. Tahukah kamu, bagaimana menentukan sudut kemiringan dari Menara Pisa ini? Untuk menentukan kemiringan kita bisa menggunakan konsep dari persamaan garis lurus dengan membuat koordinat Kartesiusnya. Aplikasi persamaan garis lurus tidak hanya untuk menentukan kemiringan suatu bangunan namun juga dapat menentukan waktu dan jarak dari kecepatan yang diperoleh, peramalan harga atau jumlah penduduk di tahun tertentu. Menarik, bukan? So, pada kesempatan kali ini, Quipper Blog akan membahas tentang garis lurus dan persamaannya, penentuan nilai gradien, serta contoh soal dan pembahasan aplikasi persamaan garis lurus dari bank soal Quipper Video yang selalu update. Yuk, simak! Pengertian Garis Lurus & Gradien Garis Lurus Garis lurus adalah kumpulan titik-titik yang tak berhingga dan saling berdampingan. Garis lurus dapat dinyatakan ke dalam suatu persamaan eksplisit dan implisit. Persamaan garis lurus secara eksplisit contohnya yaitu y = mx dan y = mx + c sedangkan persamaan garis lurus secara implisit adalah ax + by + c = 0. Di mana y = persamaan garis lurus, m = gradien/ kemiringan, c = konstanta, a dan b merupakan suatu variabel. Dari gambar di atas dapat dijelaskan bahwa fx = 2x + 1 disebut garis lurus, di mana nilai gradien dari garis tersebut adalah 2 dan konstantanya adalah 1. Garis lurus tersebut berjenis y = mx + c. Gradien Gradien adalah nilai kemiringan suatu garis. Gradien dapat bernilai positif atau negatif. Sesuai perjanjian gradien bernilai positif apabila arah garis ke kanan dan ke atas sedangkan gradien bernilai negatif apabila arah garis ke kiri dan ke bawah. Secara umum, nilai suatu gradien garis dapat dinyatakan dalam suatu rumusan matematis yaitu Persamaan diatas dapat digunakan apabila garis dihubungkan dengan dua titik X x2, x1 dan Y y2, y1. Sedangkan untuk menentukan gradien dari persamaan garis lurus secara implisit ax + by + c = 0 adalah sebagai berikut Apabila suatu soal diketahui nilai gradiennya dan titik koordinatnya A x1,y1. Maka persamaan garis lurus dapat ditentukan menggunakan persamaan Namun apabila di soal terdiri dari dua titik A x1,y1 dan B x2,y2. Persamaan garis lurus dapat ditentukan menggunakan persamaan Contoh soal 1. Diketahui garis lurus melalui titik A -4, 5 dan B 2, 3. Tentukan nilai dari gradien tersebut. Untuk menjawab soal di atas kita dapat menggunakan rumus persamaan garis di antara dua titik yaitu 2. Diketahui sebuah garis lurus yaitu 8x + 4y + 9 = 0. Tentukan nilai gradien dari garis lurus tersebut. Untuk menjawab soal di atas, kita mengetahui bahwa garis tersebut adalah garis lurus implisit. Sehingga nilai gradiennya dapat dicari dengan 3. Tentukan persamaan garis yang melalui titik 2, 3 dan sejajar dengan garis y = 2x – 5. Diketahui nilai gradiennya adalah m=2. Maka nilai persamaan garis lurusnya adalah Jadi nilai persamaan garis lurusnya adalah y = 2x -1 Menentukan Nilai Gradien Nilai gradien dapat ditentukan dari suatu hubungan dari garis-garis yang ada. Contohnya garis-garis yang sejajar dan garis-garis yang saling tegak lurus. Bunyi hukum gradien suatu garis adalah sebagai berikut “Garis-garis yang sejajar mempunyai gradien yang sama dan hasil kali gradien garis-garis yang saling tegak lurus adalah 1”. Dari gambar di atas, terlihat ada 4 garis yaitu garis a, garis b, garis c, dan garis d. Untuk menentukan nilai gradien/kemiringan dari masing-masing tersebut, maka nilai gradiennya dapat diperoleh menggunakan persamaan Sehingga gradient garis a adalah Gradien garis b adalah Gradien garis c adalah Gradien garis d adalah Nilai Gradien dari ke-4 garis tersebut adalah sama yaitu 5/4. Hal ini dikarenakan ke-4 garis tersebut adalah saling sejajar. Sedangkan di bawah ini adalah cara menentukan nilai gradien garis yang saling tegak lurus. Gradien garis k adalah Gradien garis h adalah Perhatikan bahwa perkalian gradien garis h dan garis k diperoleh Penerapan konsep dari persamaan garis lurus tidak hanya dapat menentukan nilai kemiringan suatu bangunan namun juga dapat digunakan untuk menentukan permasalahan penting lainnya dalam kehidupan sehari-hari yaitu jarak dan waktu dari suatu kecepatan, peramalan harga suatu barang dalam kurun waktu tertentu, serta peramalan jumlah penduduk dari suatu wilayah. Berikut contoh soal dan pembahasannya. Latihan Soal, Yuk! Nomor 1 Seseorang bersepeda dengan kecepatan tetap 15 km/jam. Setelah 3 jam, orang tersebut menempuh jarak 45 km. Berapa lama waktu yang diperlukan orang tersebut untuk menempuh jarak 90 km? Permasalahan di atas dapat diselesaikan menggunakan rumusan persamaan garis dengan membuat satu titik tetap yang kita sebut titik asal. Pada saat mula-mula posisi orang berada di titik s = 0 titik asal dan setiap detik bergerak ke kanan, pesepeda tersebut bergerak sejauh 3 km. Posisi orang tersebut dapat dilihat pada tabel di bawah ini Dengan t menyatakan waktu dan s menyatakan posisi/jarak, sehingga hubungan antara s dan t dapat disajikan dalam bentuk persamaan S = 15t Untuk menggambar garis tersebut dapat dilakukan cara dengan membuat koordinat kartesisus dengan menghubungkan pasangan titik pada tabel di atas yaitu 0,0, 1,15, 2,30, 3,45, sehingga grafik persamaan s = 15 t dapat disajikan pada gambar di bawah ini. Perhatikan bahwa sumbu horizontal menyatakan waktu t dan sumbu vertikal menyatakan jarak yang ditempuh s. Bilangan 15 pada persamaan gerak s = 15 t disebut kecepatan benda atau gradien garis tersebut. Berdasarkan hubungan ini, untuk mencari posisi benda pada waktu atau mencari waktu pada posisi tertentu, cukup dengan menggantikan nilai t pada persamaan tersebut. Sehingga untuk mencari t pada s = 90 km, persamaannya Nomor 2 Sebidang tanah dengan harga perolehan diperkirakan mengalami tingkat kenaikan konstan per tahun dalam kurun waktu 5 tahun. Tentukan persamaan garis harga tanah tersebut dan harga tanah setelah 5 tahun! Diasumsikan variabel x sebagai kurun waktu dalam tahun dan y sebagai nilai harga dalam rupiah. Dari soal diketahui bahwa y = jika x = 0. Misalkan gradiennya adalah m maka m = karena tiap tahun bertambah Sehingga diperoleh persamaan harga sebagai berikut Untuk x = 5 tahun, maka harga yang diperoleh adalah Jadi harga tanah setelah 5 tahun adalah Nomor 3 Di salah satu kota X di Pulau Jawa, pertambahan penduduk tiap tahunnya selalu tetap. Pada tahun 2005 dan tahun 2011, jumlah penduduk di kota itu berturut-turut orang dan orang. Berapa jumlah penduduk di kota itu pada tahun 2015? Untuk menyelesaikan soal di atas kita misalkan x sebagai waktu dan y menyatakan jumlah penduduk. Karena pertambahan penduduk tiap tahunnya tetap, berarti grafik jumlah penduduk terhadap waktu merupakan garis lurus dengan persamaan sebagai berikut Untuk x = 2015, maka nilai y = 2015-2005 + = Jadi pertumbuhan penduduk pada tahun 2015 adalah orang. Bagaimana Quipperian mulai tertarik kan belajar konsep-konsep Matematika? Ternyata apabila kita memahami konsep dasar dari Matematika maka Quipperian dapat menjelaskan masalah-masalah nyata menggunakan konsep matematika juga. Apabila Quipperian ingin memahami masalah-masalah nyata menggunakan konsep Matematika, mari bergabung bersama Quipper Blog, karena masih banyak penjelasan yang menarik dan mudah dipahami untuk membantu Quipperian menyelesaikan masalah-masalah nyata menggunakan konsep Matematika. Sumber Dhoruri, Atmini. 2011. Pembelajaran Persamaan Garis Lurus di Kemdikbud Insani, Nur. 2007. Kalkulus Universitas Negeri Yogyakarta Tampomas, Husein. 2007. Seribu Pena Matematika Jilid 2 untuk SMA/MA kelas XI. Jakarta Erlangga Sumber gambar Penulis William Yohanes

persamaan garis pada gambar tersebut adalah